Drobnjak je fudbalski put počeo u Jedinstvu iz rodnog Bijelog Polja, a najveći trag ostavio je u dresu Budućnosti, za koju je igrao punu deceniju. Bio je dio jedne od najboljih generacija podgoričkog kluba, za koji su kasnije igrali Dejan Savićević, Predrag Mijatović, braća Dragoljub i Branko Brnović i brojni drugi veliki igrači.

Do dresa velike Jugoslavije stigao je 14. decembra 1983. godine, kada je nastupio u remiju sa Velsom u Kardifu, u kvalifikacijama za Evropsko prvenstvo. Drobnjak je odigrao dobru utakmicu, a imao je i izuzetno težak zadatak, pošto je igrao protiv jednog od najboljih napadača tog vremena, legendarnog fudbalera Liverpula Jana Raša. Bio je to njegov jedini nastup za državni tim.

Karijeru je završio u austrijskom TuS Gracu. Bio je stariji brat Anta Drobnjaka, takođe bivšeg fudbalera Budućnosti, nekadašnjeg reprezentativca Jugoslavije i šampiona Francuske sa Lansom, gdje je bio i najbolji strijelac lige.

Komemoracija povodom smrti 65-godišnjeg Branislava Drobnjaka biće održana sjutra u devet sati u Bijelom Polju, dok je sahrana zakazana za 15 časova, prenosi RTCG.